摘要：共形几何代数是一个新的几何表示和计算工具.作为几何的高级不变量和协变量系统的结合,它为经典几何提供了统一和简洁的齐性代数框架,以及高效的展开、消元和化简算法,从而可以进行极其复杂的符号几何计算,在几何建模与计算方面表现出很大的优势.主要讲述共形几何代数的产生背景和意义,共形几何代数的数学理论和它最有特色的几个部分,包括Grassmann结构、统一几何表示和旋量作用、基本不变量系统和高级不变量系统、新的计算思想、展开和化简技术等.

摘要：几何不变量的使用是计算机视觉和图形学的一个重要手段.发现一个不变量后,如何找到它与其他不变量的关系,是实际应用中的一个重要问题,这种关系的探讨主要依靠在不变量层次上的代数运算.文中介绍了共形几何代数中的基本、高级和有理不变量如何在几何问题中自然出现,它们之间如何进行代数运算,以及如何通过不变量的化简,自然地得到几何条件的充分必要化和几何定理的完全化.几何定理的机器证明作为几何定理完全化的副产品,被发展成几何定理的关系定量化,这种量化的几何还原就是几何定理的自然推广.几何不变量之间的几何关系的计算是这些技术的一个具体应用.

摘要：共形几何代数在基于运动和形状刻画的视觉和图形学若干问题中的应用,反映了它能够提供统一和有效的表示和算法,这些应用主要集中在采纳几何体的Grassmann分级表示以及刚体运动的旋量和扭量表示.着重介绍了Grassmann分级表示如何被应用于单眼视觉问题并带来解决方法的简化;通过对刚体运动不同表示的分析,介绍旋量和扭量表示如何克服刚体运动蹬矩阵表示中参数空间具有过多非线性约束的缺点,从而为姿态估计、形状逼近和曲线拼接等问题的解决提供简化方案.

摘要：针对不能准确定位出平面四杆机构综合结果中存在的分支缺陷的问题,提出了基于共形几何代数的平面四杆机构分支缺陷辨识方法。对于类型I杆件:首先,通过共形几何代数的映射函数,建立了平面四杆机构的共形模型。然后,通过建立两条直线的夹角关系表达式,进而提出了平面四杆机构从动杆件构型函数表达式。最后,通过计算夹角来判别不同精确点对应的机构构型,从而实现平面四杆机构分支缺陷的辨识。对于类型Ⅱ杆件:首先基于共形几何代数建立平面四杆机构的距离曲线函数,然后设置距离曲线函数的上、下限制线,通过求解上、下限制线以及距离曲线函数组成的方程,可以得到机构的死点,通过死点可以得到机构的不同分支,由此可以进行平面四杆机构函数精确点综合分支缺陷的辨识。理论分析和研究结果表明:本文提出的设计缺陷辨识方法正确性和可行性。

摘要：针对高光谱遥感数据具有的高维特征、海量数据、信息丰富、非结构化等特点导致的维数灾难问题,将共形几何代数引入到高光谱遥感影像波段选择研究。基于高光谱影像数据在高维空间分布的几何特征,利用内积、外积和几何积,结合MEAC和JM等信息测度,设计了高光谱遥感影像的新型特征提取算子,可以实现更简洁、快速、鲁棒的高光谱遥感波段选择。实验利用HYDICE和AVIRIS等高光谱遥感数据对算法的性能进行了评价,结果表明:所提出的新方法能更有效地选择最佳波段,与已有波段选择算法相比,在运行效率、分类精度等方面具有明显的优势。

摘要：利用共形几何代数的多维统一表达与分析优势,研究了集成多源数据的三维社区统一建模与分析方法。构建了基于多重向量存储结构的社区场景整体建模流程,实现了CityGML、DXF等多源数据的导入与集成,并设计了基于共形几何代数的对象运动表达与插值方法。以德国Waldbruecke村为例的验证结果显示,基于共形几何代数的三维社区建模可以较好地表达复杂社区对象,并可以有效支撑几何度量、动态对象跟踪、运动轨迹重建等功能实现。

摘要：机器人运动学模型的建立普遍利用Denavit-Hartenberg(D-H)参数法和旋量法,但是D-H参数法的几何意义不够明确,旋量法则有低自由度、关节轴线相交于1点的结构限制。针对6自由度关节机器人反解问题提出一种利用共形几何代数求解的新方法。首先以旋转关节轴线和旋转平面为基础建立无坐标系机器人模型,并定义肩部、肘部和腕部3种机器人结构设计形式。然后在上述模型和机器人结构下利用已知共形点建立直线、平面、圆周和球体等共形几何对象,通过几何对象的约束关系进行简单的代数运算完成各关节轴的旋转角计算。另外,该方法在进一步简化代数运算的基础上,利用2直线对象和旋转平面法矢量的约束关系唯一确定旋转角,从而完成运动学反解计算。最后,以常用的人机协作的UNIVERSAL ROBOT UR5 6自由度关节机器人为例,利用该算法进行运动学反解的验证,计算结果表明该算法的正确性。

摘要：机器人运动学模型的建立普遍利用Denavit-Hartenberg（D-H）参数法，但是该代数方法的计算复杂度高。共形几何代数作为一种新的运算工具，具有几何直观性、简洁性，已经应用于机器人运动学。针对广泛应用的6自由度工业机器人，利用共形几何代数建立点、直线、圆周、平面和球体等几何对象，通过各对象之间的几何约束解决机器人运动学逆解。首先，以工业机器人典型的肩部、肘部和腕部结构为基础，定义3种结构形式；然后，利用已知的点以及相交约束关系建立直线、平面、圆周和球体等几何对象，通过它们的几何约束关系计算得到各个关节点并构造连杆直线；最后，构造旋转直线对象以及旋转平面并利用平行和垂直的几何约束关系计算各关节的旋转角，完成机器人逆解的计算。以常用的后3个关节轴线相交于1点和UniversalRobotUR3的6自由度关节机器人为例，利用该算法进行运动学逆解的验证，计算结果表明该算法的正确性。

摘要：为了解决虚拟试衣中人体模型可以动态展示服装效果的问题,提出三维人体骨架动态建模。在基于三维人体模型的骨架自动提取的基础上,采用共形几何代数方法描述人体关节点的运动并通过相邻关节点的位置变化表达不同的人体动作。用关键帧插值法实现人体姿态的序列动作,选择螺旋运动算子实现了基于2D视频图像的3D人体骨架姿态的参数估计,建立了骨架运动模型。三维人体骨架模拟视频动作证实了该方法的高效性。

摘要：分析了共形几何代数的计算特征和共形几何代数在位置正解与位置逆解中的应用,探讨了共形几何代数在刚柔耦合并联机构和冗余驱动并联机构中的应用潜力。研究表明:共形几何代数可以将机构的几何结构与运动联系起来,具有较强的几何直观性且能够简化位置解计算过程。