摘要：对求解多群辐射扩散(MGRD)方程组的大规模离散系统的已有快速算法进行分类,给出相应的综述。基于近年来所设计的关于并行代数多重网格(AMG)方面的工作,形成基于物理量的近似Schur补型与基于物理和代数特征的组合型预条件算法和理论框架,并对这些工作在该框架下的要素进行了刻画。利用上述框架,设计一种具有基本逼近性和低计算复杂度的近似Schur补型预条件子,并建立相应的谱等价理论;对比数值实验表明:新预条件子具有更好的稳健性和计算效率。最后提出需要进一步解决的若干问题。

摘要：为了提高二维特征线(MOC)Krylov子空间迭代的效率,提出了基于粗网有限差分(CMFD)矩阵的预条件子。研究首先将CMFD加速方法进行线性化,推导出线性CMFD预条件子;其次将线性CMFD预处理Krylov子空间方法用于求解二维MOC方程;最后利用IAEA LWR和2D C5G7基准题对线性CMFD预条件子的加速性能进行了测试。结果表明:在应用CMFD预条件子后,IAEA LWR基准题的迭代次数减少了52.7%,计算时间减少了41.8%;2-D C5G7基准题的迭代次数减少了20.3%,计算时间减少了13.2%;研究还发现CMFD预条件子对于局部非均匀性不强的问题效果很好,对于局部非均匀性较强的问题性能下降。

摘要：针对一种含跳系数椭圆问题的二阶混合有限体元格式,讨论求解相应离散系统PGMRES法的预条件子构造问题.通过严格的理论分析,建立分层基下该二阶混合有限体元刚度矩阵和二次有限元刚度矩阵的谱等价关系,并利用关于二次有限元刚度矩阵的一种基于分层思想的GAMG预条件子,为二阶混合有限体元刚度矩阵设计一种高效GAMG预条件子.数值结果验证理论分析的正确性和新预条件子的高效性与稳定性.

摘要：偏微分方程(PDEs)是大规模科学工程计算与数值仿真中的基本数学模型,有限元方法是数值求解偏微分方程的一类重要的离散化方法,高次有限元又是其中的一类常用有限元。针对一类基本的PDE模型(Poission方程)的高次有限元方程,设计了一种基于辅助变分问题的并行预条件子,并从理论上严格证明了该预条件子的条件数的一致有界性,数值实验验证了理论结果的正确性及相应预条件共轭梯度(PCG)法的高效性和鲁棒性。

摘要：在三角形剖分下,针对二维三温辐射热传导方程组的SFVEM离散系统,设计了一类基于块对角逆的预条件,给出了条件数的理论估计式.在此基础上,设计了相应的PCG算法.数值实验验证了理论结果的正确性.

摘要：探讨了一种适用于我国自主研发的数值天气预报模式软件GRAPES的不完全LU(ILU)分解预条件子。针对GRAPES模式所特有的具有对角优势结构的赫姆霍兹方程系数矩阵,提出了一种有效的ILU分解方案,并将分解得到的预条件子应用到模式核心的动力积分计算迭代算法中,从而达到加速算法收敛,提高模式软件整体性能的目的。

摘要：本文研究加权Toeplitz最小二乘问题的快速求解算法.首先,在增广线性系统的基础上,设计了一种用于求解此类线性系统的新型简单预条件子.其次,研究了迭代法的收敛性,并证明了预条件矩阵的所有特征值均是实数且非单位特征值位于某正区间.再次,研究了预条件矩阵的特征向量分布和最小多项式的维数.最后,相关数值实验表明新型预条件子比一些已有的预条件子更有效.

摘要：本文针对一类含变跳系数的扩散问题,在矩形网格下构造了一种节点型MACH类有限体积格式.将相应常跳系数辅助扩散问题离散格式的系数矩阵的逆作为其预条件子.利用该系数矩阵的特殊代数结构,通过降维处理技术和快速傅里叶变换等,为预条件子（该矩阵逆）的数学行为设计了一种低运算复杂度（O（Nln（N）））的直接法.数值实验验证了基于该预条件子的PCG算法的高效性和稳健性.

摘要：在二维有限元分析中,为了提高计算精度,往往需要采用高阶单元.这类单元具有某些特殊的优点,例如,能解决弹性问题的闭锁现象.但与线性元相比,高阶单元节点数多,单元分析复杂,相应离散化矩阵又具有病态性,利用通常的方法求解有限元方程时其效率将大大降低.针对分层高阶四边形亚参元分析中的离散化线性代数系统,通过利用其系数矩阵的分层结构特性以及对应分块矩阵的代数性质,设计了一种简单、有效的预条件子.该预条件子的计算主要化归为Q元离散化系统的求解,通过调用已有的代数多重网格(GAMG)法高效求解Q元系统,获得了内迭代计算效率得到显著提升的预条件共轭梯度(PCG)法.数值试验结果验证了PCG法的有效性,为分层高阶有限元分析提供了一种高效求解器.

摘要：针对参考节点分别为q=3和q=4的网格结构模型,设计了两种预处理方法:以块对角逆为预条件子的共轭梯度法(BPCG)及以块下三角逆为预条件子的PGMRES法。数值结果表明,BPCG法对q=3具有很好的求解效率和鲁棒性,但对q=4的情形,特别是当α很小时,其求解效率将变得很差。当α很小时,以块下三角逆为预条件子的PGMRES法对求解q=4的蜂窝状结构在计算CPU和算法稳定性等方面均全面占优。在这两种预处理方法中,利用了基于标量椭圆问题的GAMG法求各个子块矩阵的逆,以提高内迭代运算效率。近似连续方程的建立为内迭代方法的合理性提供了有效的理论支撑。